已知a1=1/2,an=(3an-1)/(2an-1+1)n>=2,求通项公式

a2=(3a1)/(2a1+1)=3/4;
a3=(3a2)/(2a2+1)=9/10;
a4=(3a3)/(2a3+1)=27/28;

所以，猜想an的通项公式为
(3^(n-1))/(3^(n-1)+1);

以下为数学归纳法证明：

1)当n=1时，a1=(3^(1-1))/(3^(1-1)+1)=1/2，显然an=(3^(n-1))/(3^(n-1)+1)成立；
2)当n>1(n∈Z)时，设n=k，假设a(k-1)符合通项公式，则：
因为a(k-1)=(3^(k-2))/(3^(k-2)+1);
所以ak=3*(3^(k-2))/(3^(k-2)+1)
------------------------------
2*(3^(k-2))/(3^(k-2)+1)+1
3^(k-1)/(3^(k-2)+1)
=------------------------
3*3^(k-2)/(3^(k-2)+1)+1
=(3^(k-1))/(3^(k-1)+1)
由1),2)可知，an=(3^(n-1))/(3^(n-1)+1)，证毕

很简单
解：根据an=(3an-1)/[2(an-1)+1]
上式可以变换成1/an-1=1/3[1/(an-1)-1]
设bn=1/an-1
由于a1=1/2 b1=1/a1-1=1
则上式化成bn=(1/3)bn-1
这显然是等比数列
bn=(1/3)^(n-1)
1/an-1=(1/3)^(n-1)
所以
an=3^(n-1)/[3^(n-1)+1]