用判别式求值域的一般步骤

在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根．先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了．此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

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用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：
一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验
例：求函数的值域。
错解：原式变形为 （＊）
∵，∴，解得。
故所求函数的值域是
错因：把代入方程（＊）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。
正解：原式变形为 （＊）
（1）当时，方程（＊）无解；
（2）当时，∵，∴，解得。
综合（1）、（2）知此函数的值域为
二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化
例2：求函数的值域。
错解：将函数式化为
（1）当时，代入上式得，∴，故属于值域；
（2）当时， ，
综合（1）、（2）可得函数的值域为。
错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉与时方程中相应的值。所以正确答案为，且。
三、注