问一道数学几何难题!!!急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 09:51:20
四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点。P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K；
求证：K是线段MN的中点

证明:取AC中点为T,延长DA,CB交于S,连NA,取NA
中点L.再取MN中点为Q,下面证明Q与K重合.为此,只需说明 Q,E,F共线.
由梅氏定理,直线MPF截三角形ACD,
有CF/FD*DM/MA*AP/PC=1
直线PEN截三角形ABC
有AE/EB*BN/NC*CP/PA=1
因为CF=FD,AE=EB,两式联立,得AM/MD=BN/NC=>AM/BN=AD/BC
因为QL=1/2MA,LE=1/2BN,所以AM/BN=QL/LE,
同理有TF/TE=AD/BC
所以TF/TE=QL/LE
又因为角QLE=角QLN+角NLE=角MAN+180-角ANB=角MAN+(角NAC+角BCA)=角SAC+角BCA=180-角S
角ETF=角ETP+角FTA=角BCA+180-角DAC=角BCA+(角ACD+角ADC)=角BCD+角ADC=180-角S
所以角QLE=角ETF
三角形QLE相似于ETF.
所以角QEL=角TEF.
又L,E,T共线(LE//NB,ET//BC//NB)
所以Q,E,F共线.
证毕.

PS:楼主加点分好吗

画个图行不？