有关不等式 难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 16:20:53
已知集合M=｛（x,y)|x>0,y>0,x+y=k｝其中K为正常数
求证：当k≤1时，(1/x-x)(1/y-y)≤(k/2-2/k)^2对任意(x,y)∈M成立

证明：∵x+y=k，x>0,y>0
∴xy≤[(x+y)/2]^2=k^2/4
x/y+y/x≥2
又∵f（x）=x+1/x 在（0，1）上为减函数
∴当k≤1时,xy≤k^2/4<1
∴(1/x-x)(1/y-y)=xy+1/xy-(x/y+y/x)≤k^2/4+4/k^2-2=(k/2-2/k)^2
∴原式成立