无穷等比数列所有项的和的公式怎么推导出来的？

a＋aq＋aq^2＋...＋aq^(n-1)＋.... 看作前n项和Sn当n→∞时的极限

q≠1时，前n项和Sn＝a(1-q^n)/(1-q)，只有当|q|＜1，q^n的极限才存在，且为0，所以Sn的极限是a/(1-q)

当q＝1时，Sn＝n，极限不存在

所以，a＋aq＋aq^2＋...＋aq^(n-1)＋....＝a/(1-q)，|q|＜1

做多项式除法可得1/(1-q)=1+q+q^2+q^3+……
从这里可以推导出无穷等比数列所有项的和的公式。
至于为什么要求|q|<1，想完全回答这个问题要用到复变函数的知识，
建议你还是先听听你的老师给你的解释吧^_^