求证数学题函数题

(1).要使f(x)在[1,+∞)上是增函数，必须使其导数f'(x)>0在区间（1,+∞)上恒成立。
∵ 要使f '(x)=-1/ax^2+1/x=(ax-1)/ax^2=[x-(1/a)]/x^2>0在[1,+∞)
上恒成立，必须使不等式x-(1/a)>0在此区间上恒成立。也就是要式1/a<x
恒成立。其中x的最小值为1，因此应使1/a<1,即a>1.但若取a=1,在x=1时
f'(1)=0,在x>1时仍有f'(x)>0.∴a=1是允许的，即a的取值范围应是[1,+∞).
(2).当a=1时，f(x)=(1-x)/x+lnx=(1/x)+lnx-1
当0<x<1时，f'(x)=-(/x^2)+1/x=(x-1)/x^2<0,故在此区间内，f(x)是减函数。又f(1)=0,∴当0<x<1时，f(x)>0.
取0<x=1/n<1,(n≥2),有f(1/n)=n+ln(1/n)-1=n-lnn-1>0,故
lnn<n-1.(n≥2)
当然更有lnn<n+1/2+1/3+1/4+...+1/n-1.(n≥2)
又由尤拉公式：1+1/2+1/3+...+1/n=c+lnn+εn
其中c=0.577216....称为尤拉常数，且当n→∞时εn→0.
从公式的坐边减去1，从右边减去比1小的C,和一个无穷小εn,当然就有：
1/2+1/3+1/4+...+1/n<lnn.
故当n≥2时，不等式：
1/2+1/3+...+1/n<lnn<n+1/2+1/3+...+1/n-1成立。

参考答案！～

用数学归纳法
n=1时…n=k时…n=k+1…（考虑一下比n=k时多了多了哪几项）自己慢慢整吧