一道数列题~急~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 15:34:47
已知数列{an}满足:a1=1 an+1=3an/an+3，an不等于0
猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。
拜托请把过程写的详细些~
谢谢~

解：
因an不为0，
由已知两边同取倒数得
1/a(n+1)=(an+3)/(3an)=1/an+1/3
故{1/an}是等差数列，其首项为1，公差为1/3
故1/an=(n+2)/3
an=3/(n+2)

由数学归纳法：
n=1时，代入通项公式，an=3/(1+2)=1，成立；
设n=k时通项公式成立，即ak=3/(k+2),
则n=k+1时，由题干知：
a(k+1)=3ak/(ak+3),
将假设条件ak=3/(k+2)代入上式得：
a(k+1)=3/(k+3)=3/((k+1)+3)，也成立。
故由归纳法知通项公式成立。
得证。