数学函数证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 01:56:05
设下面所考虑的函数都是定义在区间（-l,l)上的，证明：
（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，
偶函数与奇函数的成绩是奇函数。
区间是在（-L，L）

1)设f(x)，g(x)为定义在区间（-l,l)上的函数,F(x)=f(x)+g(x)
当f(x)，g(x)都为偶函数时
f(x)=f(-x)
g(x)=g(-x)
F(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=F(-x)
即两个偶函数的和是偶函数

同理
当f(x)，g(x)都为奇函数时
f(x)=-f(-x)
g(x)=-g(-x)
F(x)=f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x)=-F(-x)
即两个奇函数的和是奇函数

2）设F(x)=f(x)*g(x)
当f(x)，g(x)都为偶函数时
f(x)=f(-x)
g(x)=g(-x)
F(x)=f(x)*g(x)=f(-x)+g(-x)=F(-x)
即两个偶函数的积是偶函数

同理
当f(x)，g(x)都为奇函数时
f(x)=-f(-x)
g(x)=-g(-x)
F(x)=f(x)*g(x)=【-f(-x)】*【-g(-x)】=F(-x)
即两个奇函数的积是偶函数

同理
当f(x)为偶函数，g(x)为奇函数时
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
F(x)=f(x)*g(x)=f(-x)*【-g(-x)】=-F(-x)
即两个奇函数的积是奇函数