数学:证明函数单调性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 03:37:44
设函数f(x)=-ax+√(x²+1),其中a>=1,证明f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.

需要具体过程
a(x2-x1)>0
√(x1²+1)-√(x2²+1)<0

√(x1²+1)-√(x2²+1)一定大于x1-x2[后面有证明过程]，所以a(x2-x1)+√(x1²+1)-√(x2²+1)大于(a-1)(x2-x1)大于0，所以原来的函数在区间[0,+∞)上是单调函数.

有关√(x1²+1)-√(x2²+1)一定大于x1-x2的证明如下：因为x1²+x2²>2x1x2
所以x1²x2²+2x1x2+1<x1²x2²+x1²+x2²+1
所以1+x1x2<√(x1²x2²+x1²+x2²+1)[两边开根号]
所以1-√(x1²x2²+x1²+x2²+1)〈-x1x2
所以x1²+1-2√(x1²x2²+x1²+x2²+1）+x2²+1〈x1²-2x1x2+x2²[两边先同*2]
所以√(x1²+1)-√(x2²+1)>x1-x2[两边开根号]