一道关于函数单调性的证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 09:13:26
已知定义在R上的函数对于任意的x,y∈R都满足f(xy)=f(x)*f(y)，且f(-1)=1，f(27)=9且当x∈(0,1)时，f(x)也在(0,1)内

判断f(x)在[0,+∞]上的单调性并证明

这里有解答的参考答案

任取x1x2∈D，且x1小于x2，根据已知条件发现作差并不容易，所以可以考虑作商 f(x1)/f(x2)=f(x1/x2)，因为x1小于x2，所以x1/x2在(0,1)之间，所以f(x1/x2)也在(0,1)之间，所以f(x1)小于f(x2)，是递增函数

看不懂f(x1)/f(x2)=f(x1/x2)
希望大家能帮忙解答一下

很简单阿
你看
因为
f(xy)=f(x)*f(y)，
所以
f(xy)/f(y)=f(x)=f(xy/y)

（左右都除以f(y),注意应先求出或讨论f(y)不等于0）

1:对于任意不等于0的数a,都有,f(a*a)=f(a)f(a),
a*a一定是正数,而发f(a)*f(a)也一定是正数
2:取一任意小正数b,则f(x+b)-f(x)=f(x)+f(b)-f(x)=f(b),因为1的性质,f(b)一定是正数,表明f(x)在所有区间是增函数,也一定是单调函数

f(xy)=f(x)*f(y)，倒过来写f(x)*f(y)=f(xy)
令x=x1,y=1/x2
f(x*(1/x))=f(x)*f(1/x)=f(1)，
f(1)=f(1*1)=f(1)^2，
则f(1)=1或0
f(-1)=1=f(-1*1)=f(-1)*f(1)，
所以f(1)=1
f(x)*f(1/x)=f(1)=1,则f(1/x)=1/f(x)
f(xy)=f(x)*f(y)，倒过来写f(x)*f(y)=f(xy)
令x=x1,y=1/x2
f(x1/x2）=f(x1*(1/x2))=f(x1)*f(1/x2)=f(x1)/f(x2)，