一个函数单调性的证明题！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 23:59:35
f(x)是定义在实数集上R上的函数,并对任意x，y，有f(x+y)=f(x)+f(y)和f(xy)=f(x)f(y)，且x≠y是，f(x)≠f(y).
试证明：（1）若x>0，则f(x)>0；
（2）f(x)是单调函数。

1:对于任意不等于0的数a,都有,f(a*a)=f(a)f(a),
a*a一定是正数,而发f(a)*f(a)也一定是正数
2:取一任意小正数b,则f(x+b)-f(x)=f(x)+f(b)-f(x)=f(b),因为1的性质,f(b)一定是正数,表明f(x)在所有区间是增函数,也一定是单调函数

1, 由题可得f(0+0）＝f(0)+f(0)
所以有f(0)=0
由x≠y是，f(x)≠f(y）
所以对任意不为0的数下x都有f(x)都不为0
所以对x>0
有f(x)=f(x^1/2*x^1/2)=f(x^1/2)*f(x^1/2)>0
2，令x1>x2
由(1)可得f(x1-x2)>0
所以f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0
所以f(x1)>f(x2)
所以f(x)在实数集上R上为单调增函数
说明x^1/2为根号x

不会啊!~