求一些稍难的平面向量的题目（带答案）

1、已知平面上3点A B C 满足 向量AB的模=3 向量BC的模=4 向量CA的模=5
求 向量AB·向量BC+向量BC·向量CA+向量CA·向量AB=？
解答：很明显，三角形ABC应为以B为直角顶点的直角三角形。
所以向量AB和向量BC的夹角的余弦为0
向量CA和向量BC的夹角的余弦为-4/5
向量AB和向量CA的夹角的余弦为-3/5
所以
向量AB·向量BC+向量BC·向量CA+向量CA·向量AB=3*4*0+4*5*（-4/5）+3*5*（-3/5）=-25
2、一直向量a=(2,-3),向量a与向量b垂直,且b不等于0,则满足条件的b的单位向量为___?
解答：设b(x,y) a与b垂直,则a.*b=0. 得:2x-3y=0.
要使b为单位向量:x^2+y^2=1.

则x=3/sqrt(13) y=2/sqrt(13).
3、已知点A(1,1),B(-1,5)及A~=1/2A~B,A~D=2A~B,A~E=-1/2A~B,求点C,D,E的坐标
解答：根据题意可得向量AB=-2,4 设C点的坐标为x,y 则向量AC=x-1,y-1
且向量AC=1/2AB,即x-1,y-1=-1,2即x-1=-1,y-1=2解得x=0y=3
所以C的坐标为0,3
同理D,E的坐标也可求出