问题 P是正△ABC外接圆

x^2+y^2+z^2为定值(3/4)*a^2证明如下:
x=PBPCsin60/a,y=PAPCsin60/a,z=PAPBsin60/a,(a为正三角形边长)
x^2+y^2+z^2====3/4a^2*(PB^2PC^2+PA^2PC^2+PA^2PB^2)
由余弦定理可得a^2=PA^2+PB^2-PAPB,a^2=PB^2+PC^2-PBPC,a^2=PA^2+PC^2+PAPC,由此3式可得PA+PC=PB,于是(PA+PC)^2=PB^2即PA^2+PC^2+2PAPC=PB^2,
x^2+y^2+z^2====3/4a^2*(PB^2PC^2+PA^2PC^2+PA^2PB^2)
=3/4a^2*[PB^2*(PC^2+PA^2)+PA^2PC^2]
=3/4a^2*[(PA^2+PC^2+2PAPC)(PC^2+PA^2)+PA^2PC^2
=3/4a^2*[(a^2-PAPC+2PAPC)(PC^2+PA^2)+PA^2PC^2
=3/4a^2*[(a^2-PAPC)(a^2+PAPC)+PA^2PC^2]
=3/4a^2*a^4=(3/4)*a^2=定值

是，不妨设P在BC上
此时有PA=PB+PC
(这个证明是容易的，在AP上找一点M，使PM=PB,MPB为正三角形；
BM=BP,AMB=BPC=120,AB=BC,推出AMB全等于BPC=>AM=PC)
即
由面积法：
AB*z = AP*PBsin60
AC*y = AP*PBsin60
BC*x = PB*PCsin120=PB*PC*sin60
x^2+y^2+z^2是否为定值，只需看AP^2*PB^2+AP^2*PC^2+PB^2*PC^2是否为定值
AP^2*PB^2+AP^2*PC^2+PB^2*PC^2
=(PB+PC)^2(PB^2 + PC^2) + PB^2*PC^2
=(PB*PB+PC*PC+PB*PC)^2
有余弦定理
PB*PB+PC*PC+PB*PC=BC*BC为定值

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