a1=2 an+a(n+1)=5n 求an通项公式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 03:19:10
a1=2 an+a(n+1)=5n 求an通项公式
可以不用数学归纳法，和就和标记表示吗？
（-1)^(n+1)*a(n+1)=(-1)^(n+1)*5n+(-1)^n*an是否有错？最后一项
两边同乘把？

主要靠猜想
计算a1=2,a2=3,a3=7,a4=8,a5=12,a6=13
奇数列{2,7,12,……}是等差数列
偶数列{3,8,13,……}也是等差数列，且比对应的奇数列多1
猜想：an=(5n-1)/2,n为奇数
=(5n-6)/2+1=(5n-4)/2,n为偶数
用数学归纳法证明：
n=1时a1=(5-1)/2=2成立
假设n=k时成立,有a(k+1)=5k-ak
若k为奇数，则a(k+1)=5k-(5k-1)/2=(5k+1)/2=[5(k+1)-4]/2,通项成立
若k为偶数，a(k+1)=5k-(5k-4)/2=(5k+4)/2=[5(k+1)-1]/2,通项仍成立
综上，通项公式为
an=(5n-1)/2,n为奇数
=(5n-4)/2,n为偶数

另解：直接法
因为a(n+1)=5n-an
两边同时除以(-1)^(n+1)，整理得
（-1)^(n+1)*a(n+1)=(-1)^(n+1)*5n+(-1)^n*an
令bn=(-1)^n*an,则b(n+1)=bn+(-1)^(n+1)*5n,b1=-a1=-2
所以bn=-2+5∑k(-1)^(k+1),k从1到n-1
令Tn=∑k(-1)^(k+1)=1-2+3-4+……+(-1)^n*(n-1)
容易得到Tn=-(n-1)/2,n为奇数
=-（n-2)/2+(n-1)=n/2,n为偶数
所以(-1)^nan=5Tn-2
an=5n/2-2=(5n-4)/2,n为偶数
=2-5Tn=2+5(n-1)/2=(5n-1)/2,n为奇数。

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