请教几道高中数学不等式,集合的题目~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 23:33:31
1.设a>0,b>0,比较b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n与1/a+1/b的大小(n∈N)
2.已知x,y∈R,比较x^2+y^2+1与xy+x+y的大小
3.已知集合A={a|1≤a≤2000，a=4k+1，k∈N*}，B={b|1≤b≤3000,b=3k-1,k∈N*},则A∩B中元素个数为_______

要过程……越详细越好

1.将要比较的左项减去右边的项得：
b^(n-1)/a^n-1/a+a^(n-1)/b^n-1/b 判断它的正负.若是正数左边大,是负数右边的大(这很简单).将分母是a^n的项与a的项通分,b^n的与b的通分.然后两个分数在通分得:(a^(n-1)-b(n-1))(a^n-b^n)/(a^n*b^n).这个式子表明无论是a比b大,还是b比a大,只要a,b大于零,整个式子就大于零.所以右边的小于左边的.
2.不知道有没有更简便的办法,我相处的办法是这样:
同上,左减右.然后讨论x+y与2xy的大小(既根号xy与1的大小,自己推看看)
当前这大于等于后者时:
将式子整理得:(x+y-1)^2+(x+y-2xy)很容易看出这个式子大于零.
当前这小于后者时:
将式子整理得:(x^2+y^2+1)-(xy+x+y)
利用均值不等式,上面式子大于等于新式子:
3xy-(xy+x+y)既,2xy-(x+y),所以还是大于零.
所以左边必大于右面.
3.先看两个集合的范围,可以初步判断他们的并集应在0-2000内.
a集合除四余一,b集合除3余2,他们并集的首项是5,以后成功比为3*4=12的等比数列,定义域在 0-2000,很容易求出这个数列的card=167

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