一个立体几何的问题，临暂别送大家分了

由于准备考研的原因，有好久没上了，
今天偶然有事情，上了一下，出一道题，
答对的话，就当我临暂别送给大家的分啦，等我忙完了就会回来的
题目是这样滴：
求证：对于任意连续且无限延伸的面（可以是平面也可以是曲面也可以是折面……）总可以在面上找到这样的四个点，使得
（1）这四个点共面
（2）这四个点构成矩形
（3）这四个点构成指定长和宽的矩形
看了前几个回答，我觉得大家理解有偏差，现补充说明几点
1。我要证明的是对于任意满足条件的面普遍都存在的性质，而不是找个特例成立就能说明问题的
2。无限延伸指这个面不是封闭曲面或半封闭曲面（例如此面不是整个球面，也不是某圆柱的侧面）
3。此问题不用想的非常高深，是我偶然在一本高中数学杂志上翻到的（杂志上写，下期给答案，但是我下期找不到了）
关于下面各位的解答，让我看到了各种思路，现在说一下我的看法。abei_945 的难道微分结果一定是闭和的吗？如果我有几个不可导点就可以保证不闭和，wuzhi810 和vernon_yu 写的我看不懂，麻烦写的更详细些，一定能找到，是怎么找到的？xxp90的解法的漏洞是，要保证有解才能说有无数组解，比如一个四维的空间里如果满足X=1且X=2且T=X+Y+Z，尽管方程数少于维数，也是无解的

问题的现实模型就是：
椅子能在不平的地面放稳吗？

作下面3个假设：
1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈矩形
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

楼主的三问是层进的，所以只需证第三问
证明参见下面,百度知道里面的链接：
http://zhidao.baidu.com/question/25185789.html?si=2

或者到网上搜：长方形的椅子能在不平的地面放稳吗？
能够找到很多答案，我就不在这里赘言了.

对于任意连续且无限延伸的面（可以是平面也可以是曲面也可以是折面……）总可以在面上找到这样的四个点，使得
（1）这四个点共面
因为是在面上去找，所以肯定可以找到。平面就不用说了，曲面和折面可以假设用一个平面穿过他们时找出交线上的四点（如果你在这个平面外这一点，这四点肯定不在一个平面上）。

（2）这四个点构成矩形
平面上找这四点容易，曲面和折面的这四点应该就在（1）题中假设的平面与他们的交线上面上找。

（3）这四个点构成指定长和宽的矩形

同（2)

以M记这曲面，它是二维的。记X=M^4，则X是一个8维空间。M上任意4个点对应于X上一个点。反之亦然。

M上四个点要形成指定条件的矩形，要满足如下约束（即关于坐标的方程）：
1) 共面（一个方程）
2) 四条边等于指定的值（四个方程）
3）有一个角是直角（一个方程）

一共6个方程，约束了X中的点。因为X是8维，所以这6个方程的解空间是一个2维的子流形。