函数奇偶性的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 05:22:28
已知f(x)是定义在R上的函数，F(x)=1/2[f(x)+f(-x)],G(x)=1/2[f(x)-f(-x)].
试把函数f(x)=1/(x^2+x+1)分解为一个奇函数与一个偶函数的形式。

F(x)=1/2[f(x)+f(-x)]=1/2[1/(x^2+x+1)+1/((-x)^2+(-x)+1)]
= (x^2+1)/[(x^2+x+1)*(x^2-x+1)]

G(x)=1/2[f(x)-f(-x)]=1/2[1/(x^2+x+1)-1/((-x)^2+(-x)+1)]
=-x/[(x^2+x+1)*(x^2-x+1)]

其中
F(x)为奇函数
G(x)为偶函数

因为 F(-x)=1/2[f(-x)+f(x)]=F(x) 所以F(x)为偶函数
又G(-x)=1/2[f(-x)-f(x)]=-G(x) 所以G(x)为奇函数

于是 f(x)=F(x)+G(x)