f(x)在x→无穷大时极限为A，f(x)在R上连续,求证f(x)有界

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 05:48:29
limf(x)在x→无穷大时极限为A，且f(x)在R上连续，求证f(x)有界。
急！急！急！

对于ε＝1，由lim(x→∞)f(x)＝A，存在正数X，当|x|＞X时，|f(x)－A|＜1，所以|f(x)|＜1＋|A|.
f(x)在[-X,X]上连续，从而有界，所以存在正数M1，使得|f(x)|≤M1对任意的x∈[-X,X]恒成立.
取M＝max｛1＋|A|，M1｝，则|f(x)|＜M在R上恒成立，所以f(x)有界

证明：根据函数收敛的定义有,存在正整数N，当｜x｜>N时，|f(x)-A|<1
由于函数连续所以在-N<=x<=N,上是有最大值和最小值的，分别设为了b，c
所以可以得到min{A-1,c}<=f(x)<=max{A+1,b}。
命题得证。

一楼说的很详细