关于三角形的一个不等式

按你的叙述理解，D在AB上，E在AC上，F在BC上，
则
S△ABP=AB*PD/2，S△ACP=AC*PE/2，S△BCP=BC*PF/2，
即
S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2，

下面展开讨论：

（1）M在三角形ABC内

（1-1）M与P重合，
则MD=PD，ME=PE，MF=PF，
MD*AB+ME*AC+MF*BC=PD*AB+PE*AC+PF*BC，等式成立
（1-2）M与P不重合，
做MD'垂直AB于点D'，ME'垂直AC于点E'，MF'垂直BC于点F'，连接MA、MB、MC、MD、ME、MF
则MD≥MD'，ME≥ME'，MF≥MF'，
MD*AB≥MD'*AB，ME*AC≥ME'*AC，MF*BC≥MF'*BC，
又
S△ABC=S△ABM+S△ACM+S△BCM
而
S△ABM=AB*MD'/2，S△ACM=AC*ME'/2，S△BCM=BC*MF'/2
因此
S△ABC=(AB*MD'+AC*ME'+BC*MF')/2=(AB*PD+AC*PE+BC*PF)/2
因此
AB*PD+AC*PE+BC*PF=AB*MD'+AC*ME'+BC*MF'≤AB*MD+AC*ME+BC*MF，不等式成立
（实际上此时应该是小于号，因为MD≥MD'，ME≥ME'，MF≥MF'这三组中，同一时刻只能有一个等号成立，其他都不是等号，不想再细分讨论了，一画图就能想明白了）

（2）M在三角形ABC其中一边上
假设M在AB边上，做ME'垂直AC于点E'，MF'垂直BC于点F'，连接MC、ME、MF
（证明方法、过程与上面（1-2）类似，也是通过三角形面积来证明不等式成立，不再赘述）
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