已知ab+ac+bc=1,a,b,c∈(0,1)求1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)的最小值

设1/(1-a)=x,1/(1-b)=y,1/(1-c)=z。则x,y,z>1
把a=1-1/x,b=1-1/y,c=1-1/z代入ab+bc+ca=1化简得2xyz-2(xy+yz+zx)+x+y+z=0
也就是(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+x+y+z-1=(x+y+z)/2-1
设x+y+z=s,对上式左端运用均值不等式得
s/2-1<=((s-3)/3)^3=s^3/27-s^2/3+s-1
由于s>0，所以这个不等式可以变成s^2-9s+27/2>=0
解得s>=(9+3*根号3)/2或s<=(9-3*根号3)/2
但后者与s/2-1=(x-1)(y-1)(z-1)>0，即s>2矛盾。所以只能s>=(9+3*根号3)/2
等号在x-1=y-1=z-1,即x=y=z=(3+根号3)/2时成立
所以最小值为(9+3*根号3)/2

a=b=c的时候所求值是最小的。
将原式直接同分化简
原式=（3-2a-2b-2c+ab+bc+ca)/(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)
=(4-2a-2b-2c)/(2-a-b-c-abc)
=2+2abc/(2-a-b-c-abc)
=2+2abc/(（1-a)*(1-b)*(1-c))

设x=a/(1-a),y=b/(1-b),z=c/(1-c)，问题转换求xyz的最小值。
原题条件转化为
x,y,z>0,
xy/(1+x)(1+y)+yz/(1+y)(1+z)+zx/(1+z)(1+x)=1
将下式化简，即1+x+y+z=2xyz

下面证明x=y=z时xyz最小，因为三者中如果出现两者不等，比如x<y，那么令x'=y'=(x+y)/2,于是左边数值不变，右边的数值变大，这样我们可以通过将x',y',z同时乘以一个小于1的因数，右边数值下降的幅度比左边大,使得等式再次成立，而xyz的数值是比原来的小的,矛盾。