已知:在三角形ABC中,BD垂直AC,E为AB中点,EF平行BC,角A=2角C,求证:DF=1/2AB

连结DE
∵BD⊥AC
∴AE＝BE＝DE＝1／2AB
∴∠A＝∠EDA
设∠C＝x，∠A＝∠EDA＝2x
∴△ABC中，∠ABC＝180－3x
∵BC‖EF
∴∠AEF＝∠ABC＝180－3x
∠EFA＝∠C＝x
又∵△ADE中，AE＝DE
∴∠A＝∠EDA
∴∠AED＝180－4x
∴∠DEF＝∠AEF－∠AED＝（180－3x）－（180－4x）＝x
∴∠DEF＝∠EFD
∴DF＝DE＝1／2AB

连ED，则AE=EB=ED，则∠A=∠ADE，而∠ADE=∠DEF+∠DFE，又因为∠DFE=∠C，以及∠A=2*∠C，故∠DEF=∠DFE，则DE=DF，DF=AB/2。

作∠BAC的平分线AG交BC于G
则∠CAG=∠BAC/2=∠C
AG=CG
连FG,
因为E为AB中点,EF平行BC,所以,F是AC的中点
又因为AG=CG,所以,GF⊥AC
而BD⊥AC,所以,GF//BD
所以,DF/CF=BG/CG
而CG=AG,
所以,DF/CF=BG/AG

因为∠BAG=∠BAC/2=∠BCA
∠ABG=∠CBA
所以,△ABG~△CBA
BG/AG=BA/CA

所以,DF/CF=BA/CA
DF=CF*BA/CA
=AC/2*BA/CA
=BA/2
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贴图的背景真漂亮,是哪里的?