高一数学题 只需解答后一小题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 23:33:10
设函数f(x)=log2( （√(x^2+1)）-x ) (1)求证f ( x )是R上的奇函数 (2)判断f ( x )的单调性
我碰到几次了 第一小题我会做 就不用你们解答了 我只想知道第二小题 要有证明的过程 答案写的是 由函数单调性的定义易知是减函数 上面那个根号不会打 写成那样大家看得懂吧 前面那个2是底数
(√(x^2+1)）+x) 为什么是增函数啊 说清楚点

用一下平方差公式 （或者叫分子有理化）
f(x)=log2(1/(（√(x^2+1)）+x )))
当x>0时，明显是减函数
根据奇函数的对称性，那么在R上也是减函数

设g(x)=（√(x^2+1)）+x
则当x>=0时，g(x)单调递增
因为f(x)=
=log2( （√(x^2+1)）-x )
=log2[ 1/(√(x^2+1)）+x )]
所以当x>0时，f(x)=log2[ 1/(√(x^2+1)）+x )]单调递减
又因为f(x)在R上为奇函数
所以f(x)在R上单调递减

1） f(x)=log2( （√(x^2+1)）-x )
f(-x)=log2( （√(x^2+1)）+x )
（√(x^2+1)）+x=1/[（√(x^2+1)）+x]
所以f(-x)=-f(x)
f ( x )是R上的奇函

2）f ( x )的导数为
-1/√(x^2+1）<0
所以f ( x )在R上为减函数

最简单的证明：
已知f ( x )是R上的奇函数，将x=-1;x=1代入，可知f(-1)>f(1)，得证
正常思路：
（√(x^2+1)）-x =1/(（√(x^2+1)）+x )
明显分母是R上的增函数，而恒大于零，即可证

高一还没学导数吧？

看不懂