急求高一数学题解法（追分）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 12:36:30
函数f(x)的定义域x∈（0，+∞），若对任意的x，y>0 ,总有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立， 试写出一个满足条件的函数f(x)。

由题意得
令xy=m，m1=x,m2=y
那么f(xy)=xf(y)+yf(x)两边同时除xy
有
f（xy）/xy=f(x)/x+f(y)/y

即f(m)/m=f(m1)/m1+f(m2)/m2

令F（m）=f（m）/m 则有

F（m）=F（m1）+F（m2）

其中m=m1+m2

显然F（m）为对数函数

那么设F（m）=lnm

则f（m）/m=lnm

变形f（m）=m·lnm

即f（xy）=xy·ln（xy）=xy·[lnx+lny]=y·（x·lnx）+x·（y·lny）
=y·f（x）+x·f（y）
显然成立
所以f（x）=x·lnx

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