初三数学题 高手帮哈忙啊~~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 11:46:07
已知:点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.若PA的平方+PC的平方=2倍PB的平方.试说明点P满足以上条件必须在对角线AC上.
(提示哈,要做辅助线,要运用勾股定理及其逆定理,还要运用旋转)
(希望高手们步骤能详细点哈 `````谢咯~~真滴很向弄懂这题)

不需要那么复杂

作PE⊥AB，PF⊥BC
设PE＝x，PF＝y，AB＝a
PA＾2＝x＾2＋（a－y）＾2
PC＾2＝y＾2＋（a－x）＾2
PB＾2＝x＾2＋y＾2
PA的平方+PC的平方=2倍PB的平方
x＾2＋y＾2＋（a－x）＾2＋（a－y）＾2＝2x＾2＋2y＾2
2a＾2－2a（x＋y）＝0
2a（a－x－y）＝0
x＋y＝a
延长FP交AD与M点
PM＝a－y＝x
PM＝PE
所以＜PAB＝45°
所以P在对角线AC上

过P点做正方形两组对边的平行线,易证:PA^2+PC^2=PB^2+PD^2 ,现在已知PA^2+PC^2=2PB^2, 推得PB^2=PD^2,即 PB=PD,

因此P在BD的垂直平分线上,由正方形的性质易知,两条对角线互相垂直平分,故,P在AC上.

把A做元点，AB线做X轴，AD线做Y轴，并设边长为1.
再设P点坐标为P（X,Y),
则根据勾股定理有：
PA^2=X^2+Y^2
PB^2=(1-X)^2+Y^2
PC^2=(1-X)2+（1-Y)^2
将三式代入等式：PA的平方+PC的平方=2倍PB的平方得方程：

（X^2+Y^2）+[(1-X)2+（1-Y)^2]=[(1-X)^2+Y^2]*2
化简，得：Y=X
而这就是线段AC所在的直线方程。
所以，点P一定在对角线AC上。