证明f(x)=√(x2+1)-x在定义域内是减函数

证明f(x)=√(x^2+1)-x在定义域内是减函数

f(x1)-f(x2)>0

√(x1^2+1)-x1-√(x2^2+1)+x2>0

√(x1^2+1)-√(x2^2+1)>x1-x2

[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]^2>(x1-x2)^2

x1^2+1+x2^2+1-2√[(x1^2+1)(x2^2+1)]>x1^2-2x1x2+x2^2

2-2√[(x1^2+1)(x2^2+1)]>-2x1x2
1+x1x2>√[(x1^2+1)(x2^2+1)]

(1+x1x2)^2>[(x1^2+1)(x2^2+1)]

1+x1^2*x2^2+2x1x2>x1^2*x2^2+x1^2+x2^2+1

1+2x1x2>x1^2+x2^2+1
x1^2-2x1x2+x2^2
(x1-x2)^2>0

所以 减函数

证明：注意"^"表示乘方符号
首先确定函数定义域.
f(x)=√(x^2+1)-x有意义，只需满足x^2+1≥0，这个恒成立，故函数的定义域为R.

令x1,x2∈R且x1＜x2,则：
f(x1)-f(x2)
=√(x1^2+1)-x1-[√(x2^2+1)-x2]
=√(x1^2+1)-√(x2^2+1)-(x1-x2)
=[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)][√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]/)][√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]-(x1-x2)

=[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]-(x1-x2)

=（x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]-(x1-x2)

=(x1-x2){[x1-√(x1^2+1)]+[x2-√(x1^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√