UC知道问一道线性方程组的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 15:47:12
有一方程组：
x1 -2 x2 +2 x3 -4 x4 =0
2 x3 -15 x4=0
由于 r（A）=2，可将x1,x3留在等号的左端，而把x2,x4移到等号的右端，有
x1 +2 x3 =2 x2 +4 x4
2 x3 =15 x4
这时x2，x4是自由变量，按1，0与0，1分别赋值就求出基础解系 η1与η2.
我的问题是：
在题目中，x2与x3能作自由变量吗？
x1和x4能作自由变量吗？
具体理由是什么？
谢谢!
x1 -2 x2 +2 x3 -4 x4 =0
2 x3 -15 x4=0
由于 r（A）=2，可将x1,x3留在等号的左端，而把x2,x4移到等号的右端，有
x1 +2 x3 =2 x2 +4 x4
2 x3 =15 x4
这时x2，x4是自由变量，按1，0与0，1分别赋值就求出基础解系 η1与η2.
我的问题是：
在题目中，x2与x3能作自由变量吗？
x1和x4能作自由变量吗？
具体理由是什么？
谢谢!
只有x1和x3可以
原因：对于一般方程组先进行消元，先消x1，再消x2,然后把变量对齐，即
x1 -2 x2 +2 x3 -4 x4 =0
2 x3 -15 x4 =0
然后每行第一个变量为自由变量。
具体消元的过程：用第一个方程把其余方程的x1都消去，用第二个方程把后面方程的x2消去，依次进行。直到方程组成为上三角形。
可以，因为去掉列x2 x3 剩下的x1 x4所对应的向量与系数矩阵的秩一样即r(A)=2，也就是x1 x4是x1 x2 x3 x4对应的列向量的一个极大线性无关组,可作为方程组的主元，那么x2 x3就是自由变量，同理x1 x4也能作为自由变量
其实线性方程组中自由变量的选取是不唯一的，只要找到一个极大线性无关组，那么剩下的变量就可作为自由变量，一般为了方便，把方程组的系数化为阶梯矩阵后，取每行第一个不为零的数对应的未知数作为主变量，剩下的就作为自由变量