已知P是矩形ABCD的内的一点,连接PA,PB,PC,PD.求证:PA的平方+PC的平方=PB的平方+PD的平方

过P做EF//BC，与AB交于点E，与DC交于点F
过P做GH//AB，与AD交于点G，与BC交于点H
因为 ABCD是矩形
所以 AE=PG=DF，EB=PH=FC，PE垂直AB，PF垂直DC
由勾股定理得：
PA^2=PG^2+PE^2
PB^2=PH^2+PE^2
PC^2=PF^2+PH^2
PD^2=PF^2+PG^2
所以
PA^2+PC^2=PG^2+PE^2+PF^2+PH^2
PB^2+PD^2=PH^2+PE^2+PF^2+PG^2
所以 PA^2+PC^2=PB^2+PD^2

过P做PM垂直DC,做PN垂直AB，设AB=a,AD=b,PN=x,AN=y
在直角三角形APN和CPM中
AP^2=x^2+y^2
CP^2=(b-x)^2+(a-y)^2
AP^2+CP^2=x^2+y^2+(b-x)^2+(a-y)^2

同理在直角三角形BPN和DPM中
DP^2=y^2+(b-y)^2
BP^2=x^2+(a-y)^2
DP^2+BP^2=y^2+(b-y)^2+x^2+(a-y)^2
所以AP^2+CP^2=DP^2+BP^2