关于三角形中的边角关系的数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 19:30:01
在△ABC中，AB>AC，AD为角平分线，点P为AD上任意一点，求证：PB-PC<AB-AC.
(无图，自己画）

从P点分别作AB、AC的垂线PE、PF交AB于E，交AC于F。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PF，则AE=AF
所以AB-AC=AE+BE-（AF+BF）=BE-BF
又PE^2=PB^2-BE^2
PF^2=PC^2-CF^2
已证PE=PF
所以PB^2-BE^2=PC^2-CF^2
则PB^2-PC^2=BE^2-CF^2
分解得(PB+PC)(PB-PC)=(BE+CF)(BE-CF)
则(PB-PC)/(BE-CF)=(BE+CF)/(PB+PC)
根据直角三角形斜边大于任一直角边可得PB>BE,PC>BF
所以BE+CF<PB+PC,即(BE+CF)/(PB+PC)<0
可得(PB-PC)/(BE-CF)<0
则PB-PC<BE-CF
已证BE-CF=AB-AC
所以PB-PC<AB-AC