f（x）在【0，2a】上连续，且f(0)=f(2a);求证：存在x属于【0,a】使f(x)=f(x+a)

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/08 13:33:49

记

F(x)=f(x)-f(x+a)
则
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(a+a)=f(a)=f(2a)=-【f(0)-f(a)】

所以
F(0)*F(a)<=0
如果等于0，则说明F(0)=F(a)=0
否则，由零点存在定理
存在一点C属于(0,a)，满足F(C)=0

综上，存在一点x属于[0,a]使得
F(x)=0
就是f(x)=f(x+a)

记g(x)=f(x)-f(x+a);因为g(0)=f(0)-f(a);g(a)=g(a)-g(2a)
当g(0)＝g(a)=g(2a)=0时，则g(0)=g(a)=0；则存在x属于【0,a】使f(x)=f(x+a)
；当g(0)＜＞g(a)＜＞g(2a)；g(0)*g(a)<0,则g(x)在x属于【0,a】有零点，即存在x属于【0,a】使f(x)=f(x+a)

证明：设f(x)在[0，2 ]上连续，f(0)=f(2 a),则存在x属于[0，a]使得f(x)=f(x+a). 设 f(x)在〔a,b〕上具有一阶连续导数，且｜f‘ (x)｜≤M，f(a)=f(b)=0,求证∫(a,b)f(x)dx≤M/4(b-a)^2 若函数f（x)在 [a,b]上连续，在(a,b)内可导， x属于 (a,b)时f'(x)>0, 则f(a)>0是 f(b)>0的什么条件请问各位高手f(x)在[a,b]上可导能推出能推出f'(x)在（a,b）上连续吗？数学分析的证明题：如果在[a,b]和[b,c]上f(x)均连续，求证：f(x)在[a,c]上也连续。已知f(x)在[0,1]上连续，求证：定义在（-2，2）上的偶函数f(x),满足f(1-a)<f(a),又当x≥0时,f(x)是减函数,求a的取值范围求助高手解决高数问题f''(x)在[a,b]上连续,证明 f(x)={[根号下(x+1)]-1}/x与f(x)=a在x=0处连续,则a= 由界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续的证明