求证：81×81×81×81×81×81×81-27×27×27×27×27×27×27×27×27-9能被45整除吗？

能

式子可以化成3^2(3^25*2-1)
括号里能被5整除,式子就能被45整除
也就是说括号里的末位数是0或5
3^n的末位数随着n从一开始依次为3,9,7,1,3,9,7,1.....
也就是说n为4的倍数时,末位为1.
n=24时末位为1,那么n=25时末位为3
末位为3的数乘以2再减去1后,末位为5
故括号中的数能被5整除
于是式子能被45整除

(81×81×81×81×81×81×81-27×27×27×27×27×27×27×27×27-9)/45
=(3^4*3^4*3^4*3^4*3^4*3^4*3^4-3^3*3^3*3^3*3^3*3^3*3^3*3^3*3^3*3^3-9）/45
=（3^28-3^27-3^2）/45
=3^2*(3^26-3^25-1)/（3^2*5）
=(3*3^25-3^25-1)/5
=(2*3^25-1)/5
=(2*81*81*81*81*81*81*3-1)/5
因2*81*81*81*81*81*81*3-1的个位数为5，
所以能被5整除，即81×81×81×81×81×81×81-27×27×27×27×27×27×27×27×27-9
能被45整除

能，结果6043760503