已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=根号2，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，求AP的长

因为以c为圆心，所以设c为（0，0）点
因为圆的标准方程公式是（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
a，b是圆心的坐标，a代表x，b代表y，r是半径。又因为是以BC为半径，所以这个的圆方程是x^2-y^2=1
这个是第一步明白了吧？
在接下来，知道AC=根号2，BC=1，角c又是直角，所以可以知道A与B的坐标，A(0,根号2)，B（1，0）。又知道求斜率的公式是（x2-x1）/(y2-y1)=k,然后用求直线的标准公式y-y1=k(x-x1)做，(注：我在第二步中，x，y后面所跟的1，2都是角标）就可以知道AB这条直线的标准方程，然后和圆方程联立，求出交点。
这个是第二步明白吧？
然后用两点间的距离公式做，就能求出它们之间的距离了。。。。。。
恩。。。之所以第二步没有给你那个两点式直接求直线，是因为我那个两点式的公式没有记得太准确，所以不敢给你，不过你应该有学过吧？直接用那个比较简单，快捷一些！

AP=3-(2√5)/3,证明：
由勾股定律得AB=3
过C点作CD⊥AB，得：AC×BC=AB×CD
∴√2×1=3×CD 解得CD=√2/3
由垂径定理BD=PD=√(CB方-CD方)
解得BD=√5/3,∴PB=(2√5)/3
∴AP=AB-PB=3-(2√5)/3

第一个回答太复杂，这是初中的知识，第二个回答有一点错误
这个题的答案应该是三分之根号三
因为三角形ABC是直角三角形，过C点做CD⊥AB于D
根据等积法有AC×CB=AB×CD代入数据求的CD=三分之根号六
在直角三角形CDB中，利用勾股定理求的DB=三分之根号三
根据垂径定理PB=2BD=三分之二倍根号三
AB的长利用勾股定理求得为根号三
所以AP=根号三-三分之二倍根号三=三分之根号三

以C点为圆心，CB、CA分别为x轴和y轴，则圆的方程为x平方加y平方等于1。B点坐标为（1、0）A点坐标为（0、根号2），则可求出AB直线的方程y=-根号2（x-1),代入圆的方程中，可以求出x等于1或三分之一，1舍，所以P点坐标为（三分之一、三分之二倍根号二）用AP两点