求抽象函数的性质

一、f（xy）=f（x）+f（y）
1、定义域与值域
定义域：x∈R， y∈R 值域：f（xy）∈R
2、对称性
f（xy）关于关于y轴对称
3、周期性
f（xy）无周期
4、奇偶性
f（1）=f（1）+ f（-1）+f（-1）=0，f（1）=f（-1）=0
f（x）-f（-x）=f（x）-f（-1）-f（x）=0，f（x）= f（-x）
f（x）是偶函数
5、最值
当f（x）≥0时，有fmin（x）=f（1）=f（-1）=0
当f（x）≤0时，有fmax（x）=f（1）=f（-1）=0
6、反函数
f(x)无反函数

二、f（x）=∣x+a∣
1、定义域与值域
定义域：x∈R，值域：f（x）≥0
2、对称性
以x=-a对称
3、周期性
f（x）无周期
4、奇偶性
f(x)+f(-x)= ∣x+a∣+∣-x+a∣≠0
f(x)-f(-x)= ∣x+a∣-∣-x+a∣≠0
f（x）非奇非偶
5、单调性
x1<x2, x2-x1
f(x2)-f(x1)= ∣x1+a∣-∣x2+a∣
当x2≤-a时, f(x2)-f(x1)= -a-x1+x2+a= x2-x1>0,f(x)单调递增
当x1<-a<x2时, f(x2)-f(x1)= -a-x1-a-x2=-( x1+a)-(x2+a)
当x1≤-x2时, -( x1+a) ≤x2+a, f(x2)-f(x1) <0 ,f(x)单调递减
当x1≥-x2时, -( x1+a) ≥x2+a, f(x2)-f(x1) >0 ,f(x)单调递增
当-a≤x1时, f(x2)-f(x1)= x1+a-a-x2= x1- x2>0 ,f(x)单调递增
6、最值
当x=-a时,有fmin（x）=0
7、反函数
f(x)无反函数