抽象函数的题目

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=蕊(x)是定义在区间〔-1，1〕上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)＝f(1)＝0；

(ii)对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈〔-1，1〕，都有x-1≤f(x)≤1-x；

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈〔-1，1〕时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1〕，u∈〔-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在〔-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1〕上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈〔-1，1〕都有—f(u)-f(v)—≤1.

点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使