已知数列AN的前N项和为SN,SN=2an-2n（N属于正整数）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 12:44:48
1求AN的通项公式
2此数列是否存在三项ar，as，at（r小于s小于t）成等差数列，说明理由！

1. an=Sn-S(n-1)=2an-2n-2a(n-1)+2(n-1)=2an-2a(n-1)-2
an=2a(n-1)+2,n>=2
a1=S1=2a1-2,a1=2
an+2=2[a(n-1)+2]
an+2为等比数列。
an+2=(a1+2)2^(n-1)=2^(n+1)
an=2^(n+1)-2

2. 假设存在。
ar=2^(r+1)-2,as=2^(s+1)-2,at=2^(t+1)-2
as-ar=at-as
2^(s+1)-2^(r+1)=2^(t+1)-2^(s+1)
2^(s-r)-1=2^(t-r)-2^(s-r)
2^(t-r)+1=2^(s-r+1)
t,r,s为正整数，
故：2^(t-r),2^(s-r+1)为偶数。
因此不存在。

An=Sn-S(n-1)=2An-2n-2A(n-1)+2(n-1)=2An-2A(n-1)-2
An=2A(n-1)+2
A1=S1=2A1-2 A1=2 An+2=2(A(n-1)+2) n>2
所以An+2是一个等比数列，故An+2=2^(n-1)(A1+2)=2^(n+1)
所以An=2^(n+1)-2

假设存在r、s、t使得Ar、As、At成等差数列有
2As=Ar+At
2*2^(s+1)-4=2^(r+1)-2+2^(t+1)-2
2^(s+2)=2^(r+1)+2^(t+1)