考研高数 分式中无穷小在哪种情况下才可以代换啊

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 02:18:44
困扰好久的一个问题了,刚在网上听人说分子分母均趋近于0时可以,可是也不对啊,比如 x-tanx+x^3/x^3 其中x趋近于0,分子分母均趋近为0,我的方法是将x直接代换成tanx,结果就是1,可是跟答案对不上,但我用答案提供的方法做的话,也能做出跟答案一样的结果来，真是怪事,我彻底困惑了,希望高手赐教,分不多了,辛苦大家解答一下

乘积或者除式的整体、某一个因子可以用等价的无穷小替换，和式中的任一部分都不能使用替换.
例如x→0时，sinx－tanx中的sinx和tanx都不能替换为x，把sinx－tanx化简为tanx(cosx-1)后，sinx和cosx－1都可以替换
再例x→0时，ln(1+2x)/[xsinx]中的ln(1+2x)和sinx都能替换

使用等价无穷小代换法求解极限问题需要注意一个问题：必须对分子或分母进行“整体”代换，亦即必须将整个分子或整个分母全部用另外一个无穷小量代替，楼主的这个例子中，犯了应用这个方法时的典型错误，绝对不能单单对x进行无穷小代换，应该对“x-tanx+x^3”这个整体进行代换。当然了，从题目来说应该先把分式变为三个分式，然后对“x/x^3”“tanx/x^3”这两个分式应用洛必达法则即可。

你做错了，不能把x直接代换成tanx，原式（x-tanx+x^3)/x^3=>x/x^3-tanx/x^3+x^3/x^3
因为当x趋近于0时x/x^3=1/x^2=无穷大，tanx/x^3=1，x^3/x^3=1,原式无穷大

是个问题！