数列单调有界准则的严格证明（不是几何的）

准则：单调有界数列必有极限
证明：不妨设数列{xn}单增（减），且｛xn}有界，则根据确界存在定理{xn}有唯一上（下）确界M（m)。下面证明limxn=M(limxn=m的证明类似）。
因为sup{xn}=M,所以任给小正数t,存在某个正整数N使xN>M-t。又xn递增，所以当n>N时，M>=xn>xN>M-t,因此-t<xn-M<=0<t,根据极限定义，limxn=M
证毕！

华罗庚《堆垒素数论》，哈代《数论导引》，康驮尔《集合论》