高二数学题 关于抛物线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 23:19:37
已知抛物线y^2=2px(p＞0），过焦点F的直线L交抛物线于A、B两点，直线L的倾斜角为α，求证：|AB|=2P/sin²α.

抛物线y^2=2px焦点F坐标（p/2,0）
焦点F的直线L倾斜角为α
AB方程为
y=(x-p/2)tanα

联立
y=(x-p/2)tanα
y^2=2px
[(x-p/2)tanα]^2=2px
(tanα)^2x-[p(tanα)^2+2p]x+(ptanα)^2/4=0
|x1-x2|^2=|x1+x2|^2-4x1x2
=[p+2p/(tanα)^2]^2-p^2
=4p^2/(tanα)^2+4p^2/(tanα)^4
=[1+1/(tanα)^2]4p^2/(tanα)^2

|y1-y2|^2=|tanα|^2|x1-x2|^2

|AB|=√[(x1-x2)^2+|y1-y2|^2]
=√[1+(tanα)^2]√|x1-x2|^2
=2p(1+(tanα)^2)/(tanα)^2
=[2p/(cosα)^2]/(sinα/cosα)^2
=2P/sin²α