高中三角题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 16:48:05
在△ABC中,求证:(a^2-b^2)/(cosA+cosB)+(b^2-c^2)/(cosB+cosC)+(c^2-a^2)/(cosC+cosA)=0

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, (R为△ABC外接圆半径)
(a^2-b^2)/(cosA+cosB)=4R^2*(sin^2A-sin^2B)/(cosA+cosB)
=4R^2(cos^2B-sin^2A)/(cosA+cosB)
=4R^2(cosB+cosA)(cosB-cosA)/(cosB+cosA)
=4R^2(cosB-cosA)
同理,(b^2-c^2)cosA=4R^2(cosC-cosB)
(c^2-a^2)/(cosC+cosA)=4R^2(cosC-cosB)
所以,
(a^2-b^2)/(cosA+cosB)+(b^2-c^2)/(cosB+cosC)+(c^2-a^2)/(cosC+cosA)
=4R^2(cosB-cosA)+4R^2(cosC-cosB)+4R^2(cosC-cosB)=0