三角数学题～高中的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 14:40:22
1.已知A B均为锐角,且 A+B≠ pi/2, (1+tanA) (1+tanB)=2 求证A+B=pi/4

2.三角形的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B<pi/2

3.如果tan(A+B)=2tanA 求证3sinB=sin2A+B

答案：

1, 由(1+tanA) (1+tanB)=2
tanA+tanB+tanAtanB=1
经通分后可以得到
sinAsinB+sinAcosB=cosAcosB-sinAsinB
sin(A+B)=cos(A+B)
A+B=pi/4 或 A+B=pi+pi/4
因 A、B均为锐角
因此 A+B=pi/4

2, 由已知条件，可以得到
1/a-1/b=1/b-1/c
经通分得
2ac= b(a+c)
a^2+c^2=a^2+c^2+b(a+c)-2ac
a^2+c^2=(a-c)^2+ b(a+c)
因为(a-c)^2>=0,而且a+c>b
a^2+c^2>b^2
因此 可以得知 B<pi/2

3, 由tan(A+B)=2tanA 可以得知
sin(A+B)cosA=2sinAcos(A+B)
sin(A+B)cosA-sinAcos(A+B)= sinAcos(A+B)
sinB=sinAcos(A+B)
3sinB=3sinAcos(A+B)
=sinAcos(A+B)+2sinAcos(A+B)
= sinAcos(A+B)+sin(A+B)cosA
=sin(A+A+B)
=sin(2A+B)
因此得证3sinB=sin（2A+B）