证明：B1，……Bt的秩=r（A）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 00:02:42
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设向量a1，……as是数域P上的线性空间V上的线性无关组，若V中向量B1，……Bt满足（B1，……Bt）=（a1，……as）A。其中A为P上s*t矩阵。证明：B1，……Bt的秩=r（A）
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设A的列向量为C1,...,Ct，再设每个Ci的坐标分量为Cij。
①若Bi间有线性关系：x1*B1+...+xt*Bt=0，则代入Bi=Ci1*a1+...+Cis*as得到：(x1*C11+...+xt*Ct1)*a1+...+(x1*C1s+...+xt*Cts)*as=0。此时因为ai线性无关，所有系数都必须为0，即：x1*C1i+...+xt*Cti=0，i=1,...,s。于是得到向量Ci间有线性关系：x1*C1+...+xt*Ct=0；
②反过来，若Ci间有线性关系：x1*C1+...+xt*Ct=0，代入Bi=Ci1*a1+...+Cis*as，立得x1*B1+...+xt*Bt=0。
于是x1*B1+...+xt*Bt=0当且仅当x1*C1+...+xt*Ct=0，于是向量组{Bi}与{Ci}的秩相等，从而由矩阵秩的定义即得所求