求证:等轴双曲线上任意一点到对称中心的距离,是他到两焦点距离的等比中项

假设该双曲线是x^2-y^2=a^2，则可知双曲线的离心率e=√2。便于研究，我们可以设一点P(x0，y0)在双曲线的右支，且在第一象限。双曲线的对称中心就是O点嘛，双曲线左、右焦点分别为F1(-c，0)、F2(c，0)，则向量PF1=(-c-x0，-y0)，向量PF2=(c-x0，-y0)，则向量PF1*向量PF2=x0^2+y0^2-c^2，由双曲线方程可得x0^2+y0^2-c^2=2x0^2-3a^2。焦半径PF1=ex0+a，焦半径PF2=ex0-a，点F1、O、F2三点共线，且O是线段F1F2的中点，于是就有向量PO=1/2*(向量PF1+向量PF2)，做好这些准备工作后就可以开始解题了。
(线段PO)^2=(向量PO)^2=1/4*(向量PF1+向量PF2)^2=1/4[(向量PF1)^2+(向量PF2)^2+2(向量PF1)*(向量PF2)]=1/4[(ex0+a)^2+(ex0-a)^2+2x0^2-3a^2]=1/4(8x0^2-4a^2)=2x0^2-a^2=(√2x0+a)(√2x0-a)=(ex0+a)(ex0-a)=焦半径PF1*焦半径PF2，即得证。
此法属向量法，过程其实不难，主要用到向量的一个结论和双曲线的焦半径，以及和等轴双曲线的离心率是√2来解题，可能有些复杂，但思路十分清晰，应该能看得懂吧。