急求数列的综合题

1.证明：
为了简单我用x代替Xn-1，用y代替Xn
y=3x/(x+3)
可得3y-3x-xy=0
两边都除以xy得到
1/x-1/y=-1/3
所以{1/(Xn)} 为公差为1/3等差数列
2.
x1=1/2则1/x1=2
因为公差为1/3
所以1/x100=35
可得x100=1/35

f(x)=3x/(x+3) 数列{Xn}的通向由Xn=f(Xn-1)(n>=2 N为整数）确定，则

Xn=f(Xn-1)=3Xn-1/(Xn-1+3)

则
1/Xn-1/(Xn-1)
=(Xn-1+3)/(3Xn-1) -1/(Xn-1)
=1/3
可知{1/(Xn)} 为以1/x1为首项，1/3为公差的等差数列

x1=1/2时 求x100
x100=x1+(100-1)*1/3=1/2+99/3=33.5

解：
Xn=f(Xn-1)化为：
Xn=3Xn-1/Xn-1+3
互导后：
1/Xn=Xn-1+3/3Xn-1
1/Xn=1/3+1/Xn-1
1/Xn-1/Xn-1=1/3
所以{1/(Xn)}为等差数列，公差是1/3.
当X1=1/2;X100=X1+99*1/3=1/2+33=33.5

这种题目属于一般等级的分式递推，一般利用取倒数来解决，而且第一问已有提示了。解题如下：
由函数可知Xn=3X(n-1)/[X(n-1)+3]，因此取倒数1/Xn=1/3+1/X(n-1)，移项即得1/Xn-1/X(n-1)=1/3=常数，所以{1/(Xn)} 为等差数列。
当X1=1/2时，1/X1=2，所以1/Xn=2+(1/3)*(n-1)=(1/3)*(n+5)，其中n≥1，所以求得Xn=3/(n+5)，因此X100=3/(100+5)=1/35.
取倒数是求解分式递推的一种常用解法，可用于由分子无常数，分母有常数的数列递推式求数列通项，若分子有常数，则需要