一道简单的线性代数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 04:31:12
为什么说矩阵A和矩阵B可交换，则有
1.（A-B）^2=A^2-2AB+B^2
2.(A+B)(A-B)=A^2-B^2

这个不会有点废话吗，还是其中什么定义我没有弄清楚，虽然说矩阵不满足交换律，但是我觉得和这个没有多大关联。请各位高手教一下，谢谢

定理：如果AB=BA，则称矩阵A和矩阵B可交换

这个很重要！！一般来说AB≠BA,
在矩阵中，AB叫做A左乘B，BA叫A右乘B，
再看1，2
（A-B）^2=（A-B）（A-B）=A^2-AB-BA+B^2
只有AB=BA才有A^2-AB-BA+B^2 =A^2-2AB+B^2

同理：(A+B)(A-B)=A^2--AB+BA-B^2
只有AB=BA才有A^2-AB+BA-B^2 =A^2-B^2

可交换，就是AB=BA
(A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2=A^2-2AB+B^2
(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2
不可交换，则不满足。

since AB=BA
so
1. (A-B)^2=(A-B)(A-B)=A^2-AB-BA+B^2=A^2-AB-AB+B^2=A^2-2AB+B^2
2. (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-A+BA-B^2=A^2-B^2.

If A and B can not commute, then 1 and 2 do not hold.
This is a very important property in matrix series.