求一道高中数学选修2-1习题的答案

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 19:54:30
线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。此题在课本113页的第十题，我想了半天脑袋都没开窍~~~~（>_<）~~~~ 麻烦帮忙解解。
最好能用向量方法来解决 谢谢

线段BD与平面α所成的角是30°
参考例7可能对你有帮助：
http://www.book214.com/LiGongXueKe/gaocshuhuakebendi1-4cexinjiaocai/96/noname.htm

(式子中24^2表示24的平方,其他的表示一样)
做DE⊥α与E,连接BE,AE,做DF//AE交AC于F
假设DE=X,
在直角三角形BDE中
BE的平方=24的平方-X的平方=24^2-X^2
在直角三角形ABE中,
AE的平方=7^2+24^2-X^2
可以知道AEDF是矩形
所以AF=DE=X,DF的平方=AE的平方=7^2+24^2-X^2
又CF=CA-FA=24-X
所以在直角三角形CDF中
(24-X)^2+7^2+24^2-X^2=25^2
得到X=12
因为DE⊥α
所以角DBE就是线段BD与平面α所成的角
角DBE的正玄=X/24=12/24=1/2
所以角DBE是30度
线段BD与平面α所成的角是30度

AD^2=7^2+24^2=>AD=25如果原题中是AC=CD=25,则易知角CAD=60度，则夹角为30度。现在题目要求是ac=bd=24则需要用边角公式计算角CAD：
SIN角CAD/SIN角ADC=25/24
2*角CAD+角ADC=180度。
90度减角CAD既是解。