UC知道关于导数和连续的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 02:11:08
函数在x点可导，那么在该点比连续，反之不成立。
对于存在跳跃间断点的函数，例如分段函数：f(x)= x + 1,x > 1;f(x)= x -1,x < 1;f(x)=0，x = 0 在x=0点存在跳跃间断点（不连续）。
问题一：如果根据左右求导公式，f'(x+0)=1, f'(x-0)=1,推出在x=0处导数存在，那么在x=0点连续。（肯定是错的，为何？）
问题二：如果根据导数定义求导，f'(x+0)=正无穷大，f'(x-0)=正无穷大，但是根据坐标图像来看不可能。（为何？）
谢谢！
打错字了，修正上面f(x)= x + 1,x > 1;f(x)= x -1,x < 1为f(x)= x + 1,x > 0;f(x)= x -1,x < 0
对于存在跳跃间断点的函数，例如分段函数：f(x)= x + 1,x > 1;f(x)= x -1,x < 1;f(x)=0，x = 0 在x=0点存在跳跃间断点（不连续）。
问题一：如果根据左右求导公式，f'(x+0)=1, f'(x-0)=1,推出在x=0处导数存在，那么在x=0点连续。（肯定是错的，为何？）
问题二：如果根据导数定义求导，f'(x+0)=正无穷大，f'(x-0)=正无穷大，但是根据坐标图像来看不可能。（为何？）
谢谢！
打错字了，修正上面f(x)= x + 1,x > 1;f(x)= x -1,x < 1为f(x)= x + 1,x > 0;f(x)= x -1,x < 0
f(x)根据左右求导公式求其在x=1点的左右导数，则左导数为0，右导数为无穷大
比如，求左导数
f'(x+0)=lim(x→1+)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim(x→1+)(x+1)/(x-1)=+∞
求右导数
f'(x-0)=lim(x→1-)(f(x)-f(1))/(x-1)=lim(x→1+)(x-1)/(x-1)=1
f(x)根据导数定义求导，则在x=1点导数不存在
f'(1)=lim(x→1)(f(x)-f(1))/(x-1)
由于f(x)在x=1左右两侧表达式不同，上述极限还得按左右极限来求（即回到了上面求左右导数的过程），而左右极限是不同的，因此，导数是不存在的
总结：其实左右导数和求导的定义是一回事，两个是等价的，不会出现楼主所说的那种情况