在坐标平面任意给定9个整点，则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也为整点是否成立

首先要把命题改一下：
在坐标平面任意给定9个整点，则必有其中的三点，其重心也为整点。
否则的话9点共线就肯定没有三角形了。

根据横坐标对3取余可分三类，分别记为
X0={(x,y):x=0(mod 3)}，
X1={(x,y):x=1(mod 3)}，
X2={(x,y):x=2(mod 3)}，
纵坐标也同样，分别记为Y0,Y1,Y2。

于是一共可以把这些点分成9类，画到下面的9宫格里
X0∩Y0 X0∩Y1 X0∩Y2
X1∩Y0 X1∩Y1 X1∩Y2
X2∩Y0 X2∩Y1 X2∩Y2
在每一格填上这个集合的元素个数。

1)若至少有一格的元素不小于3，那么从这里取3个点就满足要求。
2)接下来考虑每一格都小于3的情形。
2.1)如果至少有一行都非零，那么从这一行每个集合里各取一点即可。
2.2)如果至少有一列都非零，那么从这一列每个集合里各取一点即可。
2.3)如果至少有一条对角线(包括X0∩Y1,X1∩Y2,X2∩Y0这种)都非零，那么从这一条对角线每个集合里各取一点即可。
可以证明这3种情况不可能都不满足(若都不满足，则至少有5个0元素，剩下4个非零元都小于3，总和不可能达到9)。
game over