一支扇形的周长为20厘米，问扇形圆心角为何值时，扇形面积最大？最大值是多少？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 17:56:34

设圆心角是x,半径是r
扇形周长=xr+2r=20
x=(20-2r)/r
扇形面积=xr^2/2=(20-2r)*r^2/2r=10r-r^2
是一个二次函数
当r=10/2=5时，扇形面积最大，S=10*5-5^2=25平方厘米

此时圆心角=(20-10)/5=2

解：设扇形的半径为R，圆心角为a，
为了便于计算，设A=aπ/360，则可列方程为：
扇形周长：2AR+2R=20，R=10/（A+1）；
扇形面积：AR^2=A*〔10/(A+1)〕^2，
可知当A=1时，扇形面积最大，为25（平方厘米）；
则aπ/360=1，得出圆心角a=360/π。

假定扇形的圆心角为A（单位：度）,半径为 R ，则有：

面积 S = πR^2*(A/360)

周长 L = πR*(A/180) + 2R

L = πR*(A/180) + 2R =20
πR*(A/180)=20-2R
(A/180)=(20-2R)/πR

S = πR^2*(A/360)=πR^2*(1/2)*(A/180)
=πR^2*(1/2)*(20-2R)/πR
=-R^2+10R
=-(R-5)^2+25

当R＝5时面积最大为25。

圆心角A＝360/π