在周长为20cm的扇形中，半径R（cm）是多少时扇形的面积S(cm2)最大？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 06:40:28

设扇形的圆心角为a (弧度)
2R+aR=20
a=(20-2R)/R
扇形的面积S=R^2*a/2
=-R^2+10R
=-(R-5)^2+25
当R=5时面积S(cm2)最大

吾知哦！

扇形面积等于二分之一乘以弧长乘以半径。弧长加两倍半径等于二十。令弧长为x，则，半径为1/2(20-x).求1/2*x*1/2(20-x)=1/4(20x-x^2)=1/4(100-100+20x-x^2)=1/4(100-(x-10)^2)=25-(x-10)^2当x=10时，半径为5面积有最大值25

S=LR/2 (1) (L为弧长)
20=2R+L (2)
代(2)入(1)
S=10R-R^2 (R^2表示R的平方)
现在只需要求这个函数的最大值就可以了
解得R=25时函数达到最大值

此题推导过程如下：
设扇形角度为N，为方便输入，则周长为
L=2R+2πR*N/360=20
得N=(3600-360R)/πR
其面积 S=πR^2*N/360
将N代入上式有：
S=πR^2*[(3600-360R)/πR]/360=(10-R)R
故 当且仅当10-R=R 即R=5时S有最大值S1=(10-5)*5=25
综上所述：半径R（cm）是5时扇形的面积S(cm2)最大.