已知:正方形中一点P到三个顶点的最短距离之和的最小值为根号2加根号6，请问这个正方形面积为多少？

做题方法和思路最重要，先告诉你方法
正方形中一点P到三个顶点的最短距离之和的最小值可一转化为以下思路：
如果允许P点与其中一个顶点重合，答案如下：当点P与那3个顶点的中间的那的顶点重合时，点P到三个顶点的最短距离之和取得最小值，即正方形的两条边长之和为根号2加根号6，它的面积为2+根号3

如何作一点P,使它到不在同一条直线上的三点的距离之和最短

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
1 三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
2 若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
3 当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。
你的问题 就属于这种情况
你可以试一下

二楼既然知道Fermat点，就不应该和一楼犯同样的错。
这个问题只需要三个顶点，所以可化为等腰直角三角形Fermat点的问题。
如果不知道Fermat点的性质也没关系，等腰直角三角形里面满足到三个顶点距离和最小的点必然在底边的高上（否则高上面到底边距离相等的那点距离和会更小），经简单计算就可以算出该点的位置。

当P点与一个顶点重合时，它到相邻的两个顶点和到和它重合的那个顶点这三个顶点的距离为2A（A为边长），这是P点到三个顶点的最小值。所以A=（根号2加根号6）/2
面值为2+根号3

中考题目没有这么复杂吧

用几何画板容易解