已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1

证明：（1）（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
又因为
（2）a^2+b^2>=2ab
（3） a^2+c^2>=2ac
（4）b^2+c^2>=2bc
把五个式子的左边加起来
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc >=1+2ab+2ac+2bc
所以a^2+b^2+c^2>=1/3

(2)根a+根b+根c<=根3
两边平方得到：根ab+根bc+根ca<=1
a+b+c=1
那么2a+2b+2c=2
2=2a+2b+2c>=2根ab+2根bc+2根ca
所以根ab+根bc+根ca<=1
证毕！

1）。（a-b）²＝a²+b²-2ab≥0.∴a²+b²≥2ab.
a+b+c=1
3（a²+b²+c²）＝a²+b²+c²+（a²+b²）+（b³+c³）+（c²+a²）
≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）²＝1
∴a²+b²+c²≥1/3.
2）（√a+√b+√c）²＝a+b+c+2√a√b+2√b√c+2√a√c
≤a+b+c+（a+b）+（b+c）+（a+c）＝3（a+b+c）＝3×1＝3.

1
要证 a^2+b^2+c^2>=1/3
即证 3(a^2+b^2+c^2)>=1
即证 3(a^2+b^2+c^2)>=a+b+c
即证 3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
即证 a^2+b^2+a^2+c^+b^2+c^2>2=ab+2ac+2bc
显然成立 当且仅当 a=b=c时取=号
你只要把这过程倒着抄上去就行